¿Puedes vencer a un troll con tu calculadora?

el acertijo

Por Zach Wissner-Gross

9 de junio de 2023 a las 8:00

Ilustración de Guillaume Kurkdjian

Bienvenido a El Acertijo. Cada semana, ofrezco problemas relacionados con las cosas que apreciamos aquí: matemáticas, lógica y probabilidad. Se presentan dos acertijos cada semana: el Riddler Express para aquellos de ustedes que quieren algo del tamaño de un bocado y el Riddler Classic para aquellos de ustedes en el movimiento de rompecabezas lento. Envíe una respuesta correcta para cualquiera de las dos,1 y es posible que reciba un reconocimiento en la siguiente columna. ¡Espere hasta el lunes para compartir públicamente sus respuestas! Si necesita una pista o tiene un rompecabezas favorito acumulando polvo en su ático, búsqueme en Twitter o envíeme un correo electrónico.

El viernes 30 de junio marcará la última columna de The Riddler aquí en FiveThirtyEight. Si mis cálculos son correctos, ha habido 375 columnas (siendo esta la 376) en los últimos ocho años, cuatro bajo la dirección de Oliver Roeder y otras cuatro bajo la mía. Cada momento ha sido un placer absoluto, desde leer (e intentar resolver) los acertijos de los remitentes, escribir algunos acertijos propios y, especialmente, maravillarme con las soluciones creativas y las colaboraciones en Riddler Nation.

Pero este no es el final. El viernes 23 de junio llevaré a cabo la octava y última batalla por la Nación Riddler, y los resultados aparecerán en la última columna la semana siguiente. Y después de eso… ¡estad atentos!

Si desea más acertijos semanales de matemáticas, lógica y probabilidad (y ocasionalmente geometría, física y más), considere realizar una encuesta de un minuto que me ayudará a planificar algunos de mis próximos pasos:

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Y ahora, sin más preámbulos, ¡volvamos a los acertijos!

De Tim Curwick viene un rompecabezas de punteros:

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Eres un comandante de misión de la Agencia Espacial Riddler, que participa en una carrera espacial con una agencia competidora. Ambas agencias están tratando de reclamar regiones de una luna perfectamente esférica recién descubierta que posee un campo magnético. En todas partes de la superficie de esta luna, las líneas del campo magnético apuntan desde el polo norte al polo sur, paralelas a la superficie (es decir, el campo magnético no apunta hacia adentro ni hacia afuera del volumen de la luna).

Si bien su equipo llegará primero a la luna, los políticos a cargo han llegado a un acuerdo bastante extraño. Dondequiera que su equipo aterrice en la luna, todos los puntos en la superficie cuyas líneas de campo magnético apunten en la dirección de su lugar de aterrizaje, es decir, donde el campo magnético apunte más hacia su lugar de aterrizaje que lejos de él, pertenecerán a Riddler Nation . Todas las partes restantes de la superficie irán a la nación de la agencia competidora.

Si su equipo aterriza en un punto aleatorio en la superficie de esta luna, ¿cuál es la fracción esperada del área de la superficie de la luna que reclamará Riddler Nation?

Envía tu respuesta

Mientras cruzas un puente un día, te encuentras detenido por un troll. El troll te dará paso al otro lado, siempre que puedas estimar el factorial de un número N. (El troll te recuerda amablemente que el factorial —escrito con un signo de exclamación— de un número entero es el producto de todos los números enteros del 1 a ese número. Por ejemplo, 5! es el producto de los números enteros del 1 al 5, por lo que es 120).

Eso no es problema, piensas, mientras sacas tu calculadora de tu bolsillo. Además de los 10 dígitos y un punto decimal, su calculadora puede sumar, restar, multiplicar, dividir y exponenciar. E incluso tiene un botón factorial. O mejor dicho, solía…

Parece que el astuto troll de alguna manera eliminó mágicamente el botón factorial de su calculadora, reemplazándolo con un botón con la etiqueta N, que carga el valor de N de la memoria de la calculadora cada vez que lo presiona. El troll no te ha revelado el valor exacto de N, aunque tu calculadora sabe cuál es, pero tú sí sabes que N no es más de 200.

¡Para pasar el puente, debes usar tu calculadora para estimar N! dentro de dos órdenes de magnitud, es decir, su respuesta debe estar dentro de un factor de 100 del valor exacto de N!.

¿Qué expresión escribirás en tu calculadora?

Envía tu respuesta

Felicitaciones a 👏 Aaron L. 👏 de Houston, ganador del Riddler Express de la semana pasada.

La semana pasada, estabas apostando en una carrera de caballos en The Riddler Casino. El casino proporcionó probabilidades de apuestas (en formato americano) para cada caballo. Por ejemplo, las probabilidades de -150 significan que por cada $150 que apuestes, ganarás $100 adicionales. Mientras tanto, las probabilidades de +150 significaban que por cada $100 que apostó, ganó $150 adicionales.

Ahora, para alcanzar el punto de equilibrio, un caballo con probabilidades de -150 debería ganar el 60 por ciento de las veces, mientras que un caballo con probabilidades de +150 debería ganar el 40 por ciento de las veces. (Sí, tanto +100 como -100 corresponden a un 50 por ciento de posibilidades de victoria). Por supuesto, la mayoría de los casinos manipulan las probabilidades de tal manera que apostar a todos los caballos en una carrera le haría perder dinero.

¡Pero no The Riddler Casino! Aquí, un caballo con probabilidades de -150 tiene exactamente un 60 por ciento de posibilidades de ganar, y un caballo con probabilidades de +150 tiene exactamente un 40 por ciento de posibilidades.

Y así, la semana pasada, una carrera de cinco caballos te llamó la atención. Las probabilidades para tres de los caballos eran +100, +300 y +400. No podía distinguir las probabilidades de los dos últimos caballos, pero podía ver que ambos eran múltiplos positivos de cien. ¿Cuáles eran las probabilidades más altas posibles que podría haber tenido uno de esos dos últimos caballos?

Como sabía que The Riddler Casino ofrecía probabilidades justas, podía convertir las probabilidades de los tres primeros caballos directamente en probabilidades. El primer caballo tenía probabilidades de +100, lo que significaba que por cada $100 que apostó, ganó $100 adicionales. Para que las probabilidades fueran justas, la probabilidad de ganar de este caballo tenía que ser 1/2. El segundo caballo tenía probabilidades de +300, lo que significaba que su probabilidad de ganar era 1/4. El tercer caballo tenía probabilidades de +400, lo que significaba que su probabilidad de ganar era de 1/5. En general, las cuotas positivas que son 100 veces x corresponden a una probabilidad de 1/(x+1).

Además, sabía que uno de los cinco caballos tenía que ganar, lo que significaba que sus probabilidades tenían que sumar 1. Los primeros tres caballos representaban una probabilidad colectiva de 1/2 + 1/4 + 1/5, o 19/20. Eso significaba que los dos últimos caballos tenían una probabilidad combinada de 1 en 20 de ganar. Pero, ¿cuáles eran sus posibilidades individuales?

Ya dijimos que probabilidades positivas de 100 veces x correspondían a una probabilidad de 1/(x+1). Entonces, cuando x era un número entero, como le dijeron que era el caso de esos dos últimos caballos, eso significaba que la probabilidad era una fracción unitaria (es decir, una fracción con un numerador de 1). Esto significaba que los dos últimos caballos tenían probabilidades que podían escribirse como 1/a y 1/b, donde a y b eran números enteros y 1/a + 1/b = 1/20.

El acertijo pedía específicamente las probabilidades más altas posibles para uno de esos dos últimos caballos, por lo que quería minimizar una de esas dos probabilidades, digamos, 1/b. Podrías minimizar 1/b maximizando 1/a, y la fracción unitaria más grande menor que 1/20 fue 1/21. Establecer a igual a 21 te dio 1/b = 1/20 − 1/21, lo que significaba 1/b = 1/420, que de hecho era la fracción unitaria más pequeña posible que podías generar. (Equivalentemente, como reconoció el solucionador Bowen Kerins, 1/420 era un valor que estaba claramente asociado con las probabilidades más altas).

El último paso fue volver a convertir esta probabilidad en cuotas de apuestas. Los dos últimos caballos tenían cuotas de +2.000 (para el caballo con probabilidad 1/21) y+41,900(para el caballo con probabilidad 1/420).

Felicitaciones a 👏 Adam Richardson 👏 de Old Hickory, Tennessee, ganador del Riddler Classic de la semana pasada.

La semana pasada, en un programa de juegos, había tres puertas idénticas dispuestas en fila de izquierda a derecha. El presentador del programa, "Monty", eligió una de las puertas y colocó un premio de $100 dólares detrás de ella. No había premio detrás de las otras dos puertas. No estabas presente cuando Monty eligió la puerta y colocó el dinero detrás de ella, así que no pudiste decir con certeza detrás de qué puerta está el premio.

Luego lo llevaron al escenario y se le pidió que seleccionara una de las tres puertas para abrir. Si el dinero del premio estaba detrás, ¡ganaste! Pero si adivinó incorrectamente, no todo estaba perdido. Podrías pagar $80 para elegir una segunda puerta. Sin embargo, antes de que hicieras esa segunda selección (pero después de que pagaras los $80), Monty te daría una pista, diciéndote si el premio estaba detrás de una puerta que estaba a la izquierda o a la derecha de tu primera elección. (Tenga en cuenta que esta sugerencia solo fue útil cuando seleccionó previamente la puerta del medio). Si el premio no estaba detrás de esa segunda puerta, podría pagar otros $ 80 para intentarlo una tercera vez.

Podría suponer que tanto usted como Monty jugaron con estrategias óptimas: usted para maximizar sus ganancias netas esperadas (ganancias de premios menos pagos por pistas) y Monty para minimizar lo mismo. ¿Cuántas ganancias netas podría haber esperado obtener en promedio?

Es posible que hayas pensado que deberías haber abierto la puerta del medio primero. Si el premio estaba detrás de él, entonces ganó $ 100 sin pagar un centavo, ¡lo cual fue genial! Pero si el premio no estaba detrás de la puerta del medio, entonces podrías pagar $80 por una pista y otra elección. Por supuesto, esa pista te decía exactamente dónde estaba el premio, ya que solo había una puerta a la izquierda del medio y una puerta a la derecha. Después de pagar los $80, tenía la garantía de ganar $100 con su próxima selección. Y así, con esta estrategia, o ganaste $100 directamente o obtuviste una ganancia de $20.

Ahora, si Monty hubiera seguido tu estrategia, definitivamente habría colocado el premio detrás de una de las dos puertas laterales en lugar de la del medio, lo que significa que en realidad nunca ganaste los $100 y, en cambio, solo ganaste $20. Entonces, en lugar de elegir siempre primero la puerta del medio, valía la pena explorar una estrategia mixta, en la que a veces elegías la puerta del medio y otras veces la puerta lateral. Monty probablemente haría lo mismo. Y con un concurso de estrategia mixta de dos jugadores, este acertijo cayó cómodamente dentro del ámbito de la teoría de juegos.

Suponga que eligió la puerta del medio con probabilidad p y cada puerta lateral con probabilidad (1−p)/2. Mientras tanto, supongamos que Monty colocó el premio detrás de la puerta del medio con probabilidad a y una puerta lateral con probabilidad q y cada puerta lateral con probabilidad (1−q)/2. ¿Cuáles eran sus ganancias esperadas, en términos de p y q?

Tus posibilidades de elegir la puerta del premio directamente, ya sea la puerta del medio o una puerta lateral, eran pq + (1−p)(1−q)/2, en cuyo caso ganaste $100. Si eligió primero la puerta del medio pero se equivocó, lo que ocurrió con probabilidad p(1−q), la pista aseguró que siempre acertó en su próximo intento, lo que significa que sus ganancias netas fueron de $20. Si eligió una puerta lateral pero no se equivocó, lo que ocurrió con probabilidad (1−p)q + (1−p)(1−q)/2, todavía tenía dos puertas que potencialmente escondían el premio, y resultó ser no valdría la pena seguir jugando, lo que significa que se fue sin ganancias ni pérdidas netas.

Al juntar estos resultados, sus ganancias esperadas en dólares fueron 100pq + 100(1−p)(1−q)/2 + 20p(1−q), que se simplificó a 50 − 30p − 50q + 130pq. Resultó que este juego tenía un equilibrio de Nash único, que fue trazado por el solucionador Rohan Lewis a continuación:

Para resolver analíticamente este equilibrio, podrías analizar cómo varió la expresión anterior con p y q. Para cualquier valor de q (es decir, sin importar cuál haya sido la estrategia de Monty), un valor particular de p siempre resultó en ganancias máximas esperadas. Para calcular ese valor, podrías tomar la derivada parcial con respecto a q para obtener 130p − 50. Igualar esto a cero te dio el valor óptimo de p (para ti), que fue 5/13. De manera similar, tomar la derivada parcial con respecto a p le dio la expresión 130q − 30, y establecerla en cero le dio el valor óptimo de q (para Monty), que fue 3/13.

Con la teoría del juego hecha, así es como se desarrollaron las cosas: Monty colocó el premio detrás de la puerta del medio con una probabilidad de 3/13 y detrás de cada una de las dos puertas laterales con una probabilidad de 5/13. Luego, eligió la puerta del medio con una probabilidad de 5/13 y cada una de las dos puertas laterales con una probabilidad de 4/13. Todo esto tenía un sentido intuitivo: era más probable que eligiera la puerta del medio que cualquiera de los lados, mientras que Monty prefería las puertas laterales del medio.

Reemplazar estos valores de p y q en la expresión de las ganancias esperadas le dio un resultado de 500/13, o aproximadamente$38.46 . De hecho, eso era más que los $20 si siempre hubieras ido por la puerta del medio y Monty se hubiera dado cuenta de tu plan.

Para crédito extra, jugaste un juego similar con Monty, pero esta vez tuviste que pagar $80 por adelantado antes de seleccionar tu primera puerta. Si el dinero del premio seguía siendo de $100, no valía la pena jugar este juego en particular. ¿Cuánto debería haber sido el dinero del premio para que este nuevo juego valiera la pena?

Trabajando a través de un análisis similar, tal juego solo valió la pena cuando el premio superó$144.

Bueno, ¿no tienes suerte? Hay un libro completo lleno de los mejores acertijos de esta columna y algunos rascadores de cabeza nunca antes vistos. Se llama "The Riddler", ¡y ya está en las tiendas!

Envíe un correo electrónico a Zach Wissner-Gross a [email protected].